В статье Числа 2 мы условились, что q0 = lim1/N при N стремящемся к бесконечности, а все остальные числа из множества Q равны q = q0*r, где r положительное вещественное число. Теперь, если q0 принять за единицу, то получим обычную вещественную ось внутри множества Q. Мы рассматриваем только положительные числа, т.к. все рассуждения легко переводятся для отрицательных значений q.
Рассмотрим предельное значение q = q0*r при r стремящемся к бесконечности. lim q = q0*lim r = q0*lim 1/r1 (при r1 стремящемся к 0) = q0/q0 = 1. Если рассмотреть q = a*q0*r, где а - произвольное положительное число, то его предельное значение равно а. Т.е. получаем, что наша вещественная ось является предельным значением для множества Q, причем из координат Q множество R+ выглядит также как и множество X по отношению к R+.
Если рассмотреть такие же предельные значения в множестве Х, т.е. пределы х = а*х0*r, при r стремящемся к 0, то получим множество "наших" вещественных чисел. Множество R из координат Х выглядит так же, как и Q из координат R.
Т.е R есть сжатое множество Х, а Q - сжатое множество R и в обратной последовательности каждое есть расширение предыдущего.
Можно проводить такие же операции сжатия в множестве Q, т.е рассмотреть Q2 из чисел вида q*r при r стремящемся к 0, получим множество, сжатое по отношению к Q и так далее. Аналогичные рассуждения можно провести к бесконечному расширению множества Х.
Этим мы показали как бы непрерывное в предельном смысле расположение множеств Q, R+, X.
Заметим также, что можно дополнить множество R за счет Q, а Х за счет R, например, в каждой точке а из R образовать множество Q(а) = (а - q, а + q).
Ответ на одно замечание:
Я знаю, что предел 1/N равен 0 (так считается). Но в последовательности 1/ N и в подобных последовательностях все члены больше 0, но в то же время для любого положительного вещественного числа всегда найдется член последовательности меньше его. Поэтому я и ввел такое множество Q. Почему бы нет? Ввели же когда-то мнимую единицу, которую тоже нельзя потрогать. Другое дело, где и как использовать Q и Х, я пока не знаю, лишь предполагаю. Поэтому иду шаг за шагом.