Аннотация: К закону Кулона и его неверным трактовкам
В журнале "Техника-молодежи" за 2005 г., N7, с.13-14 напечатана статья доктора физико-математических наук Михаила Герценштейна "Природа устраняет бесконечность".
Научное звание, особенно, когда оно упомянуто автором, обязывает не совершать элементарных ошибок.
Автор же, к сожалению, не проявил себя ни физиком, ни математиком. Выступая в роли популяризатора последних достижений физики и рассуждая о бесконечных величинах, выдвигает один ошибочный тезис за другим.
В частности, автор пишет о том, что в физике, якобы, укрепился метод отбрасывания бесконечных слагаемых. Как математик, автор должен знать, что бесконечные слагаемые нельзя отбрасывать, отбрасывать можно лишь бесконечно малые величины, что является полной противоположностью бесконечно большим величинам, которые порой называют просто "бесконечными".
Отбрасывание бесконечных величин так же нелепо, как взвешивание мышки и слона на общих весах с последующим утверждением о том, что "вес слона можно не учитывать".
Далее автор приводит ошибочную трактовку одного из важнейших и широко известных законов Кулона. Он пишет: "Из школьного курса физики известно, что электрическое поле E и плотность энергии поля E^2 (E в квадрате - ВЖ) для точечного заряда q равны
E=q/R^2, E^2=q^2/R^4, где R - расстояние до заряда. Вычислим количество энергии в сфере малого радиуса R, ее объем равен 4/3 pi R^3. Если сделать умножение, то количество энергии в сфере, пропорциональное 1/R, при стремлении R к нулю будет бесконечным"
Автор, ошибается и как физик, и как математик.
Как физик, автор должен знать, что приводимые соотношения сформулированы на основе закона Кулона, а закон Кулона не применим к случаю бесконечно малого R. Этот закон относится лишь к случаю, когда размеры заряженных тел существенно меньше расстояний между ними. При нулевом расстоянии, следовательно, сила не может увеличиваться до бесконечно большой величины, хотя бы потому, что этот случай не описывается указанным соотношением.
В частности, в физическом энциклопедическом словаре сказано: "КУЛОНА ЗАКОН, один из осн. законов электростатики, определяющий силу вз-ствия между двумя точечными электрич. зарядами (между двумя электрически заряж. телами, размеры к-рых малы по сравнению с расстоянием между ними). Установлен франц. физиком Ш. Кулоном в 1785 с помощью изобретённых им крутильных весов..." (Источник: Физический энциклопедический словарь. М. Советская энциклопедия, 1983. с.334).
Как физик, автор также должен представлять, что сила, притягивающая разноименные заряды, стремится их пространственно совместить, а в случае совмещения их она просто не может быть никуда направлена. Действительно, пусть имеются два точечных заряда: 1 и 2. В этом случае сила со стороны заряда 2 на заряд 1 должна быть направлена в центр заряда 2, а приложена к заряду 1. Но поскольку точка приложения и точка, куда сила направлена, совпадают, то мы получаем вектор нулевой длины, ибо не может сила стремиться воздействовать на объект, стремясь переместить его в то место, в котором он уже находится. Если же заряды 1 и 2 одноименные, то сила должна быть направлена одновременно во все стороны, поскольку вектор силы должен лежать на отрезке, соединяющем центры зарядов, этот отрезок вырождается в точку, а через одну точку можно провести сколько угодно прямых. Поэтому из самых тривиальных соображений ясно, что закон Кулона просто не может описывать случай R, близкого к нулю.
Как физик, автор забывает, что энергия, сосредоточенная в поле, может быть описана работой, которое это поле может произвести, например, над зарядом единичной величины. Работа же описывается произведением силы на перемещение, которое совершено под действием этой силы. Приращение координаты заряда вблизи точки R=0 бесконечно мало. Произведение бесконечно малого приращения даже на бесконечно большую силу даст отнюдь не обязательно бесконечную величину. Как математику, автору должно быть известно, что результат относится к классу неопределенностей, которую необходимо раскрыть. Если же эта неопределенность, даже будучи раскрытой, оказывается бесконечной величиной, то так и следует говорить. В частности, мы получаем интеграл от величины 1/R^2 в пределах от бесконечности до нуля. Результат интегрирования пропорционален значению 1/R0, то есть работа поля по перемещению единичной заряженной частицы из бесконечно удаленной точки до радиуса R0 пропорциональна величине, обратной этому радиусу в первой степени, а вовсе не в третьей и не в четвертой, как упоминается в обсуждаемой статье.
Напомню, что этот результат имеет место при условии, что R0>>r, где r - радиус заряженной частицы. Поэтому в рассмотренном разделе физики даже теоретически не возникает бесконечных сил или бесконечных энергий.
Подставлять в этот результат значение R0=0 так же бессмысленно, как решать задачу: "Какую работу, согласно взятому уравнению, проделает сила, которая на самом деле не равна тому значению, которое мы подставим в данное уравнение?"
Из общих соображений можно попытаться дать модель зависимости кулоновской силы от расстояния между центрами зарядов и в том случае, когда это расстояние меньше, чем радиусы заряженных частиц. Такая попытка будет иметь не очень высокую ценность, поскольку при сближении заряженных сфер происходит рекомбинация зарядов, то есть заряды сфер перестают существовать. Уже из этого ясно, что при пространственном совмещении заряженных сфер кулоновская сила должна падать до нуля. Но предположим, что заряженные сферы могут проникать друг в друга, не теряя своих зарядов. Это чисто теоретическое предположение относится не к макропроцессам, а к предположительной статике элементарных частиц, чего на самом деле никогда не имеет места, ибо элементарные частицы никогда не покоятся.
Та часть поверхности сферы 1, которая находится внутри поверхности сферы 2, перестанет порождать кулоновскую силу. Это же можно утверждать и про аналогичную часть сферы 2, находящуюся внутри сферы 1. Причина этого проста: на каждый элемент этой сферы, который можно рассматривать как точечный заряд, действуют со всех сторон силы одного свойства (либо притяжения, либо отталкивания), и они строго компенсируют друг друга.
Действительно, рассмотрим заряженную частицу внутри заряженной сферы. Со стороны произвольно выбранного элемента поверхности сферы ds1 на частицу действует сила, пропорциональная его площади и обратно пропорциональная квадрату расстояния от него до частицы.
F1=q1/R1^2
Построим криволинейную поверхность, проходящую через периметр этого элемента сферы и через точку расположения заряда. Эта коническая поверхность вырезает из противоположной части сферической поверхности другой элемент поверхности ds2, действующий на заряд в противоположном направлении. Сила этого действия также пропорциональна заряду и обратно пропорциональна расстоянию до частицы.
F2=q2/R2^2
Из подобия получаемых конусов следует, что площади их оснований относятся как квадраты их высот, а, поскольку заряды этих элементов поверхности как раз и пропорциональны основаниям, то силы, действующие со стороны противоположных элементов сферической поверхности, строго равны.
Так как q1/q2 = R1^2/R2^2, следовательно, F1=F2.
Будучи по направлению противоположными, они полностью компенсируют друг друга.
Следовательно, после того, как сферы начнут проникать друг в друга, кулоновские силы станут снижаться, достигнув нулевого значения при полном совпадении центров этих сфер.
Таким образом, кулоновские силы можно записать, например, в виде следующего соотношения:
F= + / - k q1 q2 R* / (R+r)^3,
где k - коэффициент пропорциональности, R* - вектор расстояния между центрами зарядом, R - соответствующее скалярное значение этого расстояния, q1, q2 - заряды сфер, r - радиусы этих сфер. При r<
Эта сила никогда не принимает бесконечного значения, и интеграл от FdR* по R* в любых пределах остается конечной величиной.
Таким образом, бесконечные величины в физике не являются неустранимым проклятьем теории, а возникают лишь от непонимания области применимости тех или иных математических формулировок физических законов условиям конкретных задач. Неверное применение логических или математических правил к тем областям, на которые эти правила не распространяются в сформулированном виде, неизбежно будет порождать парадоксы, противоречия и двусмысленности. Подобные ошибки высмеивал ещё Аристотель. Так, например, применение законов логики к утверждениям, сформулированным на основании законов лексики, порождает нелепейшие выводы. Например, "эта собака - отец" (т.е. имеет щенков) + "эта собака - твоя" (т.е. принадлежит тебе), следовательно "эта собака - твой отец". С позиции логики здесь всё верно: эта собака - принадлежащая тебе и имеющая щенков. Но, возвращаясь в область лексики мы получаем утверждение, что эта собака является твоим отцом, поскольку соединение слов "твой" и "отец" имеет совершенно иной смысл, чем эти слова в отдельности. Способ получения противоречия - переход из лингвистики в логику, а потом обратно из логики в лингвистику.
Такую же опасность таит в себе бездумное перескакивание из физики в область чистой математики и обратно в область теоретической физики (что порой делается многократно). В результате получаются дикие формулы, которым приписывается совершено невероятный физический смысл. Если же не смешивать математический аппарат с физическим смыслом соотношений, и всегда следить за корректностью применений законов строго в рамках их применимости, которая следует из условий их открытия и формулировки, то никаких парадоксов с бесконечностью в физике не получается.