Есть запах цветов медуницы Среди незабудок В том, что я, Мой отвлечённый строгий рассудок, Есть корень из Нет-единицы, Точку раздела тая К тому, что было, И тому, что будет. Кол. В. Хлебников.

  Введение

В этой статье мы пытаемся проанализировать некоторые логические и философские аспекты квантовой теории и теоремы Гёделя о неполноте. Показано, что логика должна развивать концепции относительности (вплоть до введения логических "систем отсчёта"), а непредикативные понятия должны стать фундаментом логических построений. Теория моделей должна более гибко индивидуализировать элементы множеств и их свойства. Показана также связь между современной математикой и философскими концепциями Гегеля и Беркли.

Статья имеет ряд недостатков. Так, например, мы не обсуждали некоторые общеизвестные аспекты теоремы Гёделя, квантовых явлений. Собственно философская тематика изложена слишком кратко. Также бегло затронута нами и теория категорий. Желательно (но не обязательно), чтобы, несмотря на наш век узкой специализации, читатель был знаком со всеми этими предметами. Очень подробно описано лишь то, в чём нам удалось (или показалось, что удалось) сказать нечто новое в вышеупомянутых вопросах.

 

  1. Отношение между субъектом и предикатом в квантовой теории.

 

Для нашей статьи важен принцип суперпозиции и общий вид зависимости волновой функции Ψ от времени. Если физическая система может находиться в состояниях Ψ₁ и Ψ₂, то она может находиться и в состоянии αΨ₁ +βΨ₂, где α и β,- произвольные комплексные константы. Зависимость Ψ(t) от времени опишется обобщённым уравнением Шредингера: которое истинно в любых квантовых теориях, отличающихся лишь спецификой построения оператора Гамильтона H. Семантическому анализу Ψ- функции было посвящено много глубоких исследований. Но нам бы хотелось обратить внимание на одну деталь, которую эти исследования могли упустить.

Дело в том, что уравнение Шредингера,- это уравнение поля, т.е. — дифференциальное уравнение для некоторого потенциала (в данном случае это комплексно-значный потенциал в гильбертовом пространстве). Во всех доквантовых физических теориях такие уравнения описывали то, что философы называют материей, субстанцией, средой. Физики это называют полем,- некоторой сущностью, переносящей энергию и оказывающей силовое воздействие на вещество. Странность квантовой теории состоит в том, что уравнение поля описывает в ней чисто информационную Ψ-функцию. Полубилинейная форма (Ψ^*ĜΨ), где: Ĝ,— эрмитов оператор,— будет плотностью вероятности для наблюдаемых значений некоторой физической величины (например,— для координаты частицы). Такая нелинейная зависимость вероятности от линейно зависимых состояний (принцип суперпозиции) имеет глубокие логические последствия.

Например, если имеется множество альтернативных состояний, неразличимых нашим прибором (что по определению верно в любой макро- ситуации), то состояния теряют свою альтернативность. Объект ведёт себя так, будто он может находиться или в одном из этих состояний, или сразу в нескольких. Иными словами, электрон размазан как среда во всём пространстве до тех пор, пока прибор не измерит его координату, которая при измерении всё же окажется "точечной", отличной от других возможных альтернатив его координаты.

Неразличимость ненаблюдаемых альтернатив вытекает из принципа суперпозиции для состояний и квадратичности выражения для вероятностей. Собственно, это и доказывает известный мысленный эксперимент по интерференции волн вероятности. Перед источником электронов стоит преграда, имеющая две щели. Если устроить макро-ситуацию так, чтобы прибор фиксировал и щель, через которую прошёл электрон, и место попадания электрона на экране приёмника, то распределение вероятностей опишется суммой квадратов амплитуд. В противном случае, когда прибор не фиксирует пути электронов, вероятность будет квадратом суммы амплитуд. Т.е. — распределение электронов даёт интерференционную картину. Таким образом, информационная, логическая структура (Ψ-функция) проявляется физически как поле. Обычно утверждают, что мы не вправе говорить о том, какой из двух альтернативных путей выбрал электрон, если их невозможно различить наблюдением. Но это не так: мы не говорим о результатах наблюдений, но говорим об этих путях, вычисляя их амплитуды. И наблюдаем результат суммирования амплитуд. Итак, электрон, оставаясь эмпирической точкой, одновременно является "логическим полем" неверифицируемых эмпирически высказываний, статус истинности которых есть не что иное, как волновой процесс в некой физической среде(!).

Ψ-функция это векторное поле, скалярный квадрат которого играет исключительно логическую роль. Мера истинности высказывания семантически соответствует степени его "присутствия" в данной области индивидов и является в квантовой теории интенсивностью поля. В обычных физических полях |Ψ|² было бы энергией; в квантовом случае,— это вероятностная мера высказывания.

Заметим, что эмпирическая неустановимость высказывания совсем не означает потери смысла этого высказывания: оно проявляет себя косвенно, через наблюдаемые факты,— благодаря своим логическим связям с высказываниями, эмпирически установимыми. Мы можем и должны говорить о ненаблюдаемых путях электронов. Именно суперпозиция амплитуд этих путей и создаёт интерференционную картину на экране. В этом заключается принципиальное отличие квантового соотношения неопределённостей от любого классического отношения погрешностей измерения. Если классическая молекула в объёме V будет оказывать давление на стенки объёма, состоящее из локальных ударов, то электрон, локализованный в том же объёме, вообще не будет иметь определённой координаты, а распределится по всему объёму и поэтому создаст равномерное давление на стенки (которое тоже займёт некий интервал сил, так как для импульса имеем неопределённость: ΔpΔx≥h/4π). Этот "эффект размазанности" наблюдается физически. Именно он лежит в основе туннельного перехода, принципа наименьшего действия, а также процессов с участием виртуальных частиц.

Итак, в квантовой теории плотность распределения вероятности для точечной частицы принципиально неотличима от плотности среды, присутствующей во всём пространстве. Логически это означает некоторую непредикативность: мера истинности высказывания об объекте сама является объектом некоторого другого допустимого высказывания теории.

И в классическом случае эксперимент также не отличает точку, имеющую координату, определённую с погрешностью Δx, от среды, распределённой в интервале Δx. Но классическая теория принимает неконструктивную, индуктивно установленную идеализацию материальной точки. Последняя же неявно предполагает, что плотность распределения вероятности точечного объекта нетождественна плотности рспределения среды.

Более того, аналогичную идеализацию принимает и логика, как классическая, так и конструктивная, когда провозглашает тавтологию непротиворечивости в виде: A&(~A) =0. Если следовать концепции квантовой теории, то это неверно в случае, когда высказывание А неустановимо некоторыми эффективными средствами. Видимо, в квантовой логике надо рассматривать "системы отсчёта", образованные определённым выбором дизъюнктной системы событий.

Чтобы лучше уяснить всё отличие квантовой ситуации от классической, приведём один наглядный пример. Пусть на плоскую поверхность высыпана горка песка, так что плотность массы над поверхностью распределена, к примеру, нормально. И пусть в этой горке имеется единственная чёрная песчинка. Тогда относительный (т.е. нормированный) вес песка над единицей площади будет и плотностью некой среды, и плотностью вероятности найти чёрную песчинку над данной единицей площади. И тем не менее в классическом случае среда это одно (песчаная горка), а информация,— совсем другое (возможность найти чёрную песчинку). В квантовом же случае ситуация совершенно иная. Если чёрная песчинка находится где-то в глубине горки, то она ненаблюдаема прямо и уже не обязана быть песчинкой: она поведёт себя как среда, распределённая в соответствии с вероятностью. И вся горка приобретёт черноватый оттенок, сгущающийся к вершине. Но если мы начнём перемешивать песок,— вся эта чернота сконцентрируется в одной точке,- когда песчинка выйдет наружу и станет наблюдаемой.

Резюмируя, можно сделать следующие выводы:

  1) Дуализм волна - частица.

  Дуализм волна - частица сам по себе не представляет большой проблемы. Он - лишь следствие более глубокого дуализма между средой и предикатом, материальным и идеальным. В синтезе волнового и корпускулярного описаний вовсе нет противоречия. Именно поэтому в начале 20-го века физика столь упорно искала электромагнитный эфир. Любая среда, дискретная или непрерывная, обладающая простейшей силой упругости, является носителем волновых процессов, что мы и имеем, например, в акустике. И наоборот, при помощи волновых пакетов можно промоделировать любые классические корпускулы, что мы имеем в квантовой механике. Однако в сущности своей эта модель недалеко отошла от замысловатых теорий эфира, так и не решив главной проблемы.

,2) Дуализм субъекта и предиката.

Настоящий парадокс заключён в ином дуализме: то, что при одних условиях было плотностью вероятности некоторого события, при других условиях становится физической субстанцией. И эти условия состоят в том, каким образом внешняя макро-ситуация различает ряд дизъюнктных микро-состояний объекта. Один и тот же Ψ-вектор описывает и полевые свойства объекта, и логические, информационные свойства высказываний об объекте. В конечном итоге такое положение вещей вызвано тем, что эмпирически объект выделяется нами из остального мира только по наличию или отсутствию у него каких-либо свойств; сами же свойства проявляются в природе ничуть не хуже и не лучше объектов, этими свойствами обладающих. "Быть объектом",- тоже одно из свойств. Это уже логически мы различаем элементы множества от предикатов, на этом множестве моделируемых. Как видим, природа устроена несколько иначе. И поэтому жёсткое подразделение мира на элементы индивидной области и на внешне приложенные к последовательностям этих элементов предикаты,- представляется недостатком современной формальной логики. Можно сделать вывод, что будущее развитие логики должно идти по пути более тонкого изучения процессов моделирования и более гибкого решения проблемы индивидуации. Именно, отношение: (х ∈ М) должно эффективно определяться некоторыми средствами индивидуации. Точно также обстоит дело и с отношением истинности: А(х₁,...х_n)=1 высказывания А на последовательности: (х_i)| х_i∈M,i=1,...,n; элементов множества М. Что касается самой теории множеств, то множество молекул в стакане с водой, несомненно, составляет единый физический объект и обладает физической реальностью. Чего уже так просто не скажешь, например, о булеане этого множества. Видимо, природа склонна "включать и выключать" пресловутую "функцию собирания: ∈ ". Во всяком случае, в квантовой теории реальны только те множества микро-состояний, которые альтернативно различимы макро- ситуацией.

Теперь перейдём к проблемам эффективности. Первой попыткой обосновать математику эмпирически был конструктивизм. Все апелляции конструктивизма к интуинтивной ясности сводятся к одному: эмпирической выполнимости рекурсивных процессов счёта. И только эмпирическая практика делает эти процессы ясными интуинтивно. Квантовая теория показывает, что эмпирические средства не сводятся к одним лишь процессам счёта. Есть много процессов, эффективность которых конструктивизм неоправдано полагает самоочевидной. Мы уже отмечали нарушение тавтологии: A&(~A) =0, которая истинна и в булевой, и в гейтинговой логике. Аналогично обстоит дело и с самоочевидной эффективностью рефлексивного свойства равенства: Х=Х в конструктивных и классических теориях. Его внутренняя противоречивость была замечена ещё в древности. Чтобы экспериментально установить: Х=Х, нужно один и тот же объект взять дважды для сравнения с самим собой,— а это невозможно. Современный метод рассмотрения инскрипций (неограниченного запаса экземпляров данного объекта или символа) просто уводит от проблемы, считая её решённой a priori. Однако нетривиальность индивидуации квантовых объектов явно требует эффективного установления рефлексивности. По тем же причинам нельзя считать допустимой идеализацию: "точка в континууме", или вообще: "элемент множества" — если это понятие определяется независимо как от множества, так и от внутренней структуры самого элемента. Эти идеализации перестают работать уже хотя бы из-за принципиальной целостности квантового описания: Ψ- функция задаёт состояние всей Вселенной, а не совокупности выделенных объектов. Принцип дополнительности указывает на то, что эффективные средства относительны, составляют некие равноправные "системы отсчёта", гораздо более сложные, чем система базисов в линейном пространстве. И эту относительность логической теории ещё только предстоит изучить. Думается, что Брауэр пытался в интуиционизме прийти к более глубоким идеям, нежели конструктивная "инспекция" канторовских построений...

3) Кванты и вероятность.

Несмотря на неизбежную погрешность измерения, классическая теория всё же приписывает физической величине точечное значение в интервале этой погрешности. Эта идеализация является основным отличием классической физики от квантовой. Идеализация основана на индукции: всегда можно построить более точный прибор и повторить измерение. Неповторимость акта измерения в квантовой теории эту индукцию запрещает. Но среда, распределённая в интервале погрешности одного измерения, неотличима от точки, которую другое, идеальное измерение могло бы в этом интервале зафиксировать. Просто потому, что измерение у нас только одно. И то, что в другом измерении было бы точкой, элементом множества значений физической величины,— сейчас является интервалом, подмножеством. Точнее, даже не подмножеством, а мерой истинности некоторого предиката. Природа не знает жёстких самотождественных элементов математического множества, но определяет эти элементы каждый раз по-новому, в зависимости от различимости их свойств в некотором базисном множестве ("система отсчёта" прибора). Пусть теперь некоторая физическая величина определена через множество значений другой величины. Тогда точечная локализация одной из них приведёт к потере локализации другой. И "значением" этой другой величины станет некоторое множество её обычных значений, т.е — предикат на области, которую она пробегает. Так обстоит дело с координатами и импульсами, ведь значение скорости, представляя собой производную, определено через открытый интервал значений координат (вспомним преобразование Фурье, используемое для вывода соотношения неопределённостей). Отсюда вытекают принципы неопределённости квантового описания.

Здесь следует обратить внимание на то, что физика могла бы столкнуться с нарушением идеализации точечных значений величин необязательно в микромире, где это случилось просто из-за необходимости очень точных измерений. Сама же рассматриваемая идеализация имеет не физический, а логико-статистический смысл.

Поэтому для понимания квантовых явлений следует уточнить логические основы математической статистики. Теория вероятностей применяется в статистике несколько непредикативным образом, стремясь обосновать свои аксиомы эмпирически, и в то же время, постулируя их эмпирическую истинность заранее.

Так что "квантовые" явления могут возникнуть в статистике не только из-за огромной точности измерений, но и по другим причинам,— например, при увеличении объёма выборки (впрочем, последнее следует из самой квантовой теории: резиновый мячик, брошенный в бетонную стенку, обязательно совершит сквозь неё туннельный переход,— если совершить астрономически большое число бросков. Однако не всё здесь так просто. И классическая, и квантовая физика описывают один и тот же мир, причём квантовая теория не опровергает никаких классических законов, а напротив,— только следует им. На самом деле все их различия чисто статистические: событиям, однозначно происходящим или невозможным в классике,— отвечают распределения вероятностей. И квантовое описание всегда нуждается в классической верификации. Иными словами, физике Ньютона и Эйнштейна придётся, не отвергая своих законов, и даже не обращая внимания на явления микромира,— всё-таки как-то объяснять аномальное поведение мячика). Итак, не классическая физика, а современная теория вероятностей является приблизительным описанием природы. К чисто физической специфике тут следует отнести лишь конкретное значение постоянной Планка. Когда плотность вероятности неотличима от плотности среды, то уже простое движение объекта будет волновым процессом, и вполне естественно ожидать, что мы придём к некому полевому уравнению типа шредингеровского.

Что касается эмпирических недостатков современной статистики, то последовательно проведённый принцип вероятностного подхода должен был бы учитывать и метавероятности, т.е. — вероятностные меры на самом пространстве вероятностных мер. К такому подходу вообще ведут все ситуации с заранее неизвестными законами распределения. А эмпирически мы потому и начинаем говорить о вероятностях, что этих вероятностей не знаем. И частота некоторого события в последовательной теории должна давать информацию о законах распределения не первого, а более высоких метауровней. Но это уже тема для другой работы.

В заключение рассмотрим ещё один знаменитый мысленный эксперимент. Это опыт Эйнштейна-Подольского-Розена. Та самая телепортация свойств, которую только сейчас научились проводить экспериментально.

Два фотона, летящих в противоположные стороны, образовались в результате аннигиляции электрона и позитрона. Как бы далеко не разлетелись фотоны к моменту их наблюдения, определение поляризации одного из них повлечёт такую поляризацию другого, которая требуется для сохранения полного углового момента системы. Получается, что некоторая физически значимая информация может распространяться со скоростью, сколь угодно превышающей световую. Здесь нет противоречия с теорией относительности: светящееся пятно на экране достаточно длинного кинескопа тоже может передвигаться со сколь угодно большой скоростью. Мысленный эксперимент утверждает просто, что не все физические явления вызваны распространением сигнала, несущего энергию. Т.е. — чисто фазовые характеристики Ψ- функции соответствуют наблюдаемым физическим эффектам. Но Ψ- функция, это такая "мера истинности", фазовые переменные которой описывают качественное своеобразие высказываний, их взаимосвязь и зависимость от времени. Мир, сотканный световым зайчиком, имеет совсем не те информационные свойства, которые предполагает классическая физика. В классическом мире информация существует только по Шеннону,— как мера неоднородности материальной субстанции: некой среды или энергонесущего сигнала. В мире же, сотканном зайчиком, мы имеем информацию как самодостаточную идеальную сущность, из которой чисто телеологически, как по чертежу или плану, строится материя. Опыт Эйнштейна-Подольского-Розена, объяснение принципа наименьшего действия через волновые пакеты, туннельный переход, совмещение неразличимых альтернатив, виртуальные эффекты,— всё это говорит о том, что реальный мир имеет именно такие, телеологические черты,— но не всегда и не во всём.

Это имеет глубокие логические и философские последствия. Мы попытались показать, что понимания квантовых явлений следует искать в логике. Именно, требуется более гибко и детально изучить отношения между элементами индивидной области и областью предикатов, нетривиально разрешить проблему индивидуации. Индивидуация элементов должна эффективно определяться наличными средствами, составляющими нечто вроде системы отсчёта. Это требует перестройки и фундамента теории вероятностей.

 

  2. Немного философии.

 

Основания математической логики, особенно в области семантики и теории моделей,- неразрывны с некоторыми глобальными вопросами, которые мы сейчас кратко рассмотрим.

1) Материальное и идеальное.

Этот вопрос имеет прямое отношение к нашей основной теме: логическое отношение между объектами и их свойствами.

Классическая философия много внимания уделяла материальному и идеальному. Однако сами эти понятия всё ещё не имеют достаточного уровня строгости. Под идеальным философы понимают интуинтивный образ психических процессов, начинающихся в ощущении и завершающихся где-то на уровне мышления и идей. При этом философия представляет идеальное обобщённо, отвлекаясь от чисто человеческих качеств и усматривая сходные явления во всей природе. Что касается материального, то здесь исходным образом послужил тот аспект ощущения, который выходит за рамки психического и принадлежит внешнему миру. Как бы там ни было, но классическая философия всё же оставила нам два чётких аспекта этих понятий:

Во-первых,— у идеального нет другой сущности, кроме отображения, моделирования, гомоморфизма. Материальное,- это само отражаемое, выступающее поэтому как нечто внешнее идеальному. Эти выводы наиболее полно сформулированы Марксом и выражают некие функциональные качества диалектической пары понятий. Мы намеренно отвлекаемся от специфики марксизма и не утверждаем следом за Марксом, что "материальное существует вне и независимо от идеального", и что "материальное первично, идеальное вторично".

Во-вторых,— идеальное выступает в роли предиката, свойства и имеет в этом смысле своё основание в себе самом. Материя,— это субъект предиката, носитель свойств, главные из которых (аксиомы) как бы внешне приложены к материи. И в этом смысле материя имеет основание вне себя, в чём-то ином. Этот аспект наиболее точно сформулирован Гегелем. И опять мы отвлекаемся от остальных специфических качеств, которые Гегель приписывает материи, и останавливаемся на этих логических свойствах.

Теперь обратим внимание на то, что физика и математика внесли много нового в этот вопрос и более строго исследовали как первый, так и второй аспекты. Дело в том, что в современной науке оба этих аспекта характеризуют идеальное только как информацию, и материю,— как то, что эта информация моделирует, отражает. Следует обратить внимание на то, что информация здесь понимается в широком смысле,- как некоторая мера на свойствах, выражающая их качественные различия (логическая модель свойств — высказывания, семантика которых моделирует качественный аспект свойства) и количественные характеристики их истинности. Но такой концепции информации логика ещё не выработала. Шенноновское определение,- это только частный случай чисто количественного сравнения информации качественно однородных высказываний, значения истинности которых лежат в действительном интервале: [0,1]. В то время как философское понимание идеального более всего соответствует семантике предложений, а также их вероятностным или истинностным мерам в различных логиках, и т.д. Все перечисленные моменты взаимосвязаны настолько тесно, что их вообще нельзя рассматривать раздельно. Более того, нельзя разрывать свойство и его объект. Функция истинности должна задавать их как диалектическую пару. Вышеупомянутые примеры из квантовой теории рассматривают связь между материальным и идеальным (среда и вероятность). Как видим, природа устроена так, что они являются двумя сторонами одной медали. Материальное и идеальное становятся текучими понятиями, релятивированными в неких системах отсчёта,— и взаимно дополнительными (наподобие кинетической и потенциальной энергии: заметим, что эта пара действительно описывает феноменологический и информационный аспекты движения). В квантовой теории им соответствует Ψ-функция, которая задаётся в различных базисах. Итак, логическая проблема взаимосвязи предмета и предиката имеет прямой философский смысл.

2) Что такое диалектика?

Сейчас это слово настолько утратило свой первоначальный смысл, что представляется почти как синоним демагогии или софистики, то есть - как пустая игра парадоксов, необоснованные попытки делать строгие заключения в неформализуемых ситуациях.

В прошлом философы много спорили о том, насколько объективны законы логики. Но теперь уже стало почти очевидным, что законы логики — это только законы нашего мышления и ничего более. И универсальны для всего мира эти законы лишь потому, что являются законами построения языковых конструктов. И объективны они лишь постольку, поскольку объективно описывают некоторую часть работы нашего мозга.

Именно поэтому можно построить много различных логик, описывающих одно и то же теоретическое содержание. С реальностью логика сталкивается только в процессах верификации и моделирования,— которые в конечном итоге эмпиричны.

Сама же реальность вовсе не обязана подчиняться никаким логическим законам. Более того, всё указывает на её принципиальную нелогичность. Например, невозможность одновременной полноты и непротиворечивости формальной арифметики — вместе с эмпирической полнотой и осуществимостью всех реальных процессов счёта. Да и само наше теоретическое познание вынуждено, при обращении к опыту, всё время отбрасывать старые формальные теории и создавать новые, более точные. И, судя по всему, этому процессу не будет конца. Значит, никакая формальная теория неспособна быть эмпирически полной. Т.е. — мир не имеет формальной модели. Иными словами,— он логически противоречив! Но противоречив только логически. Содержательно эти формальные противоречия не только разрешимы, но могут даже и не возникать.

К формальной противоречивости любого реального содержания мы приходим и по чисто формальным причинам. Вернёмся опять к теореме Гёделя о неполноте. Всякая формальная теория, достаточно богатая по эмпирическому содержанию, включает в себя арифметику. Следовательно, будучи непротиворечивой, эта теория не может быть полной. Между тем в реальности эта теория получает полную модель (арифметика, например). Но отсюда следует формальная противоречивость реальности и необходимость постоянного обращения теории к своей эмпирической модели для разрешения утверждений, неустановимых формально.

Итак, реальный мир противоречив формально, но это не проблема мира, это - наша проблема. Ибо формальная логика — закон нашего мышления. Все это — прямое следствие того, что утверждения, неразрешимые формально, всегда разрешимы содержательно, но не наоборот. Вот и получается, что содержательный объект неформализуем в принципе, так как не имеет формального существования. Но в логике (и только в логике!), неспособность существовать - синоним противоречия. Однако содержательные объекты существуют реально. Есть ведь разница между фактическим и логическим бытиём. Так что в природе на самом деле всё логически противоречиво. Вот нам и приходится непротиворечивым образом моделировать противоречивое, смирившись с идеализациями, с относительностью наших истин и необоснованностью наших приёмов индукции. И познание — только постоянное натягивание "смирительной рубашки" логики на очевидный абсурд бытия.

Следовательно, диалектика — логическое противоречие, осуществлённое логически непротиворечивым способом. Это превосходно иллюстрируется вышеупомянутым примером отождествления ненаблюдаемых альтернатив в квантовой теории. Собственно, вся наука из таких примеров и состоит. Что есть точка в континууме, как не попытка соединить полную тотальность, обезличенность среды с "по-элементностью", чёткой индивидуацией дискретных объектов?

Итак, логически противоречивый мир непротиворечивым образом проецируется в нашу логику. Это и есть диалектическое противоречие. Это и есть познание.

3) Относительность.

Принцип всеобщей относительности первым выдвинул Беркли. Важно то, что относительность истины состояла для него в наличии эффективных средств её определения. И эта относительность была тотальна: каждый объект создан только корреляциями ощущений. "Существовать,- значит восприниматься".

В дальнейшем эти взгляды получили развитие в физике. С появлением систем отсчёта из идей Беркли был исключен излишний антропоморфизм. "Субъект" заменился "прибором", "ощущение" заменилось "наблюдением" и даже "взаимодействием". Таким образом, "существовать" — стало синонимом для: "восприниматься и воспринимать".

Сама по себе относительность имеет чисто диалектическую природу. Поскольку реальность противоречива, то наряду с истинностью некоторого высказывания А должно быть истинным и его отрицание: (~A) . Одним из способов логически непротиворечивого моделирования этой ситуации является истинность А в одной системе отсчёта и истинность (~A) в другой системе. Причём, система отсчёта финитизирует мир, "вырезает" из него конечную часть, некоторым эффективным образом выбирая не абстрактное, а конкретное отрицание, то есть высказывание В, такое, что: A&В=0.

Что касается конкретного характера относительности, то современная физика дает здесь две модели: Эйнштейновскую и квантовую. Эти модели отличаются по сути, хотя в обоих случаях речь идёт о преобразованиях базиса линейного пространства. Системы отсчёта теории относительности построены на пассивном акте наблюдения, что приводит к сосуществованию различных систем, обменивающихся информацией, и к возможности произвольно изменять нашу систему отсчёта. В квантовой же теории Ψ- функция всегда описывает мировую ситуацию в целом, всегда единственна и уникальна в данный момент времени. Акт наблюдения заменён актом взаимодействия, и выбор полной системы реально измеряемых величин уже нельзя изменить. Нет никакого наблюдателя из другой системы отсчёта, который бы измерял импульс, пока я измеряю координату. Квантовый наблюдатель всегда уникален, как уникален и прибор, выбранный им для измерения характеристик данной частицы в данном состоянии. Квантовая теория изучает статистику случайных явлений, принципиально не способных быть массовыми (обратим внимание на то, что без идеализации массовости случайных событий,- вероятностная мера становится ни чем иным, как многозначной мерой истинности).

Таким образом, Эйнштейновская и квантовая относительности исследуют разные стороны реальности. Квантовая относительность рассматривает "системы отсчёта" различных возможностей при полной абсолютности выбора из этих возможностей: выбор делается лишь однажды, и потом его нельзя изменить. Как видим, эти различия носят модальный характер.

Следует заметить, что квантовое отождествление ненаблюдаемых альтернатив получает интересную модальную формулировку: "класс возможностей, не реализованных данной действительностью, представляется как единственная и неделимая действительность. И наоборот, любая действительность - это класс возможностей, которые ею не реализованы". Что и происходит с Ψ-функцией электрона, когда он "ищет", со сверхсветовой ненаблюдаемой скоростью, путь своего реального передвижения,— так, чтобы выполнить принцип наименьшего действия.

И снова мы видим, что причину квантовых явлений следует искать не в физике, а в логике и теории вероятностей. Но современная логика отстает от этих идей, ибо не знает никакого принципа относительности высказываний. Это случилось потому, что проблема эффективности изучалась математикой вне всякой связи с проблемой относительности. Так, различные модели данного предиката лишь конъюнктивно добавляют к его свойствам некие новые, выбранные из жёстко фиксированного набора совместимых с ним свойств. Концепция относительной разрешимости, разработанная конструктивизмом, страдает аналогичной схоластикой. Вся "математическая относительность" заканчивается на преобразованиях базиса линейного пространства,— уже давно исчерпавших себя в физическом приложении. Ведь относительность, которую пытается исследовать современная физика, требует, чтобы модель предиката не регламентировала тривиально жёсткой связи этого предиката с элементами индивидной области. Да и сама мера истинности также должна быть релятивирована.

4) Гегель.

Теперь вспомним диалектику Гегеля. В основу мироздания он ставит идею, понятие, которое в абсолюте тождественно Богу. Мир явлений выступает как не совсем адекватное воплощение идеи, почти как пародия на неё. Таким образом, материя определена негативно: только как отрицание понятия. Итак, материя — это то, что имеет основание в чём-то ином. Понятие же имеет своё основание только "в себе и для себя" — больше никаких характерных свойств эта диалектическая пара не имеет. При этом непосредственная самодостоверность аксиом, фактически, не может быть самообоснованностью понятия, ибо она бессодержательна и на самом деле скрывает основание аксиомы в вере или в практических потребностях. Понятие само себя создает и выводит именно через самоотрицание в своём инобытии,— в материи.

Бросаются в глаза два аспекта Гегелевской диалектики. Первое - относительность. Все выражения типа: "в себе", "для себя", "для иного", "вне себя",— являются просто указателями различных систем отсчёта. Но взаимосвязь этих систем у Гегеля довольно своеобразная. Они нестабильны и постоянно перетекают одна в другую. В этом перетекании состоит, как процесс размышления над природой понятия, так и эволюция самого понятия. "В данном аспекте свойство выглядит так, что требует противоположного аспекта, где и выглядит абсолютно иначе..." вот типичный оборот гегелевской мысли. Следует заметить, что так поступает и природа, постоянно совершая унитарное преобразование Ψ-функции согласно уравнению Шредингера.

И второе, основной характеристикой понятия является его непредикативность, само-применимость. И Гегель, так же, как это в 20-ом веке делает Рассел, приходит к само- отрицательности такого понятия. Чтобы избежать разночтений, в дальнейшем мы используем кавычки для различения "понятия" Гегеля от понятия вообще.

 

  3. Непредикативные понятия в современной логике.

 

Получаем интересную ситуацию. Формальная логика может моделировать идеи Гегеля лишь непредикативным образом. И в то же время Рассел изгнал из логики все непредикативные высказывания. Но это не совсем так. Мы уже говорили о том, что логика непротиворечивым образом представляет противоречивое. Парадокс Рассела (если: Х≡{α|~(α ∈ α)}, то: (Υ ∈ X) ↔ ~(Υ ∈ Х), или в номинальном варианте: "В деревне живёт единственный парикмахер, бреющий всех мужчин, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет его?" — откуда видим, что дело не в специфике теории множеств, а в нашем мышлении вообще) "решается" простым отказом от рассмотрения таких множеств. Например, при помощи введения собственных классов, не являющихся множествами. Далее, если эти собственные классы рассматриваются в рамках теории типов, то непредикативное понятие всё же присутствует в теории неявно, "размазавшись" по всей иерархии типов (ситуация здесь аналогична конструктивному представлению натурального ряда как потенциально бесконечной градации конечных чисел, которая сама не является допустимым объектом арифметики. Если мы не будем замыкать конечные числа в единое множество, то не будем знать точно, что такое конечное число вообще. Тогда некая часть теории чисел перестанет принадлежать конструктивной арифметике, которая всё равно будет вынуждена на эту часть опираться). Но даже не обращаясь к теории типов, мы приходим к понятию универсального множества (множество, замкнутое относительно всех операций над множествами), вместе с аксиомой принадлежности любого множества некоторому универсальному. Тогда универсальное множество будет одной из моделей всей теории множеств. Т.е. — если логика и отказывается от прямого рассмотрения такого непредикативного объекта, как множество всех множеств то она всё же вводит его более строгую модель,— универсальное множество.

Поэтому не следует утверждать, что такие философские обобщения, как "мир в целом" логически несостоятельны. Универсальное множество как раз и является одной из формальных моделей Вселенной. Насколько эта модель адекватна прообразу,— или можно ли рассматривать Вселенную как открытую или замкнутую систему,— это уже другие вопросы. Но фактом является то, что теория множеств не отказалась от понятия множества всех множеств, а просто доказала, что это понятие надо моделировать нетривиально, а именно: как универсальное множество.

Аналогично обстоит дело и с другими абсолютными понятиями: логика вовсе не запрещает их формальные модели, но моделирует их непрямо, парадоксально. Наоборот, только формально-логически эти общие понятия и можно осмыслить научно. Вспомним, к примеру, определение Гегеля: бесконечность, это нечто самотождественное за счёт своего само-различия. Это, в сущности, совпадает с "понятием" как "самоутверждающимся через своё самоотрицание" (мы опять вольно цитируем Гегеля). Тривиально формализуя такую бесконечность, мы приходим к абсурду: (Х=Х)↔(Х≠Х). Но Кантор, заменяя здесь равенство на эквивалентность, приходит к следующему: "множество Х бесконечно, если существует такое взаимно-однозначное соответствие f: X→X, что f(X)≠X." И теперь нам ясно, что Гегель всё- таки верно определил бесконечность. А если ещё внимательнее рассмотреть ситуацию, то станет ясно, что эмпирически установленное равенство,- это всегда совпадение ограниченного класса свойств, т.е. — некоторая эффективная эквивалентность. При этом надо не просто заменить классическое определение: (Х=Х)&[(X=Y)→(A(X)→A(Y))], (где: А — любое допустимое высказывание) на: (Х=Y)≡[A(X)&A(Y)] , (где А пробегает эффективно ограниченный класс высказываний). Надо ещё как-то отразить неэффективность рефлексивного свойства, что уже отмечалось выше. Как видим, проблема бесконечности неразрывна с проблемой индивидуации.

Но при всём совпадении концепций бесконечного по Гегелю и Кантору, не следует забывать, что канторовское определение есть лишь формальный образ содержательной концепции Гегеля. И образ, далёкий от совершенства, ибо он создан классической математикой с тривиально чётким понятием элемента и функции, как множества упорядоченных пар элементов с формулой единственности значений. Однако для гегелевского подхода это всё случайные, ничем не оправданные факторы. Между тем современная математика имеет только канторовское определение бесконечности. В то же время парадокс Рассела и неприятности с аксиомой выбора говорят о незавершённости этого определения.

Следующий, и пожалуй, единственный шаг в формализации бесконечности "понятия" был сделан Робинсоном в его теории нестандартной математики. Основа здесь в том, что формальная теория, имеющая счётную модель, имеет модель любой бесконечной мощности. Что, если первая модель будет подмножеством второй? Что, если теоремы первой модели получаются из теорем второй ограничением области действия кванторов и области изменения переменных? Используя теорему компактности, ультрафильтры и направленные отношения, такую пару моделей можно построить для всякой формальной теории. И тогда возникает следующая ситуация. Теоремы, истинные в стандартной области (индивидная область первой модели), могут нарушаться в расширенном множестве, которое включает и нестандартные элементы. Но те же самые теоремы всё-таки истинны в расширенном множестве,— нарушается только их стандартное представление. Здесь мы имеем содержательную непредикативность, которая формально выражена вполне предикативно и непротиворечиво. Теория моделируется так, что её теоремы имеют "истинность, которая реализуется через момент ложности". Разумеется, формально это всё выглядит совершенно иначе. Однако содержание тут то же самое, что и в "понятии". Что касается реальности, то бесконечность полевой массы частицы гораздо естественнее объяснять нестандартными методами (когда масса и в самом деле представляется бесконечным, но измеримым числом), чем приёмами перенормировки. Аналогично обстоит дело и с нулевыми вероятностями точечных событий, составляющих континуум.

Но и здесь мы имеем лишь неполную модель "понятия". Сделав бесконечность по Кантору нестандартной, мы ещё не избавимся от вышеуказанных недостатков. Например, предикат стандартности остаётся здесь чем-то внешним для теории, имеющим отношение только к её модели. "Понятие" же требует, чтобы процесс моделирования (у Гегеля это воплощение идеи в материю) был не только чем-то самостоятельным, но и органично включался в построение логического языка теории.

Другим примером реальной работы непредикативных структур в математике является аппарат рекурсивных функций. Здесь мы также избегаем прямого употребления непредикативности при помощи некоторой вариации терма в левой и правой частях равенства: f(n+1)=g[f(n)], где натуральное n меняется на (n+1). Вообще следует заметить, что в современной математике непредикативность всегда вызывает большие неприятности, даже если и не приводит к противоречию. Причины этого станут ясны, если рассмотреть, к примеру, такое функциональное уравнение: f(х)=g[f(х)], где х действительно или комплексно. Эта ситуация типична для матанализа. Уравнение является определением функции f(х). Но чтобы получить о ней полную информацию, уравнение надо решить, т.е. — найти выражение f(х) через другие функции, исключить непредикативность. Такое стремление к детерминизму и безотносительности познания говорит о том, что математика всё ещё слишком классична, всё ещё отстаёт от новейших разделов физики. Мы пытаемся показать, что будущая математическая логика должна иметь свои собственные принципы дополнительности, относительности, и т.д.

Наилучший результат применения непредикативных методов дал Гёдель в доказательстве своих теорем. Эта тема заслуживает особого разговора.

 

  4. Теоремы Гёделя о неполноте.

 

Гёделем была доказана скрытая в метатеории непредикативность арифметики. Именно в том, что цифрами можно закодировать логические символы в высказываниях о цифрах, а рекурсивными функциями,- логические отношения между этими символами,- и заключается основное содержание теоремы о неполноте. Но содержание это относится уже к металогике. То, что такое кодирование позволяет сформулировать парадокс лжеца (логический вариант парадокса Рассела),— является уже следствием доказанной Гёделем непредикативности.

Итак, арифметика непредикативна в том смысле, что высказывания о цифрах выразимы самими цифрами, а метавысказывания,— высказываниями. Как видим, это более тонкий случай, чем тот, который рассматривал Рассел. Более того, непредикативность Рассела является его следствием. Однако сам характер "вывода" этого следствия выходит за рамки того формализма, в котором мы строим арифметику, и заставляет нас рассматривать целый класс других формализмов.

Какие высказывания неразрешимы в арифметике? Те, и только те, для которых существует такая система гёделевой нумерации, при которой они превращаются в парадокс лжеца (делаясь при этом непредикативными по Расселу).

Этот класс нумераций по сути является классом формальных языков, изоморфных тому исходному языку, на котором строится арифметика. Доказательство этого изоморфизма является ключевым пунктом у Гёделя. Тогда, если в одном из языков данное высказывание интерпретируется как парадокс лжеца, то оно неразрешимо. Создаётся впечатление, что в рамках классической математики Гёдель применяет методы, в корне отличные от формальных или конструктивистских. Высказывание тут рассматривается не как нечто жёстко сформулированное в единственном формальном языке,— а как схема высказываний, функция класса изоморфных языков. В итоге доказывается, что эта функция имеет некие свойства, инвариантные по всему классу. Следствием этого и является неразрешимость высказываний, имеющих непредикативную интерпретацию в одном из языков. Более того, этот класс языков обязательно содержит элементы, непредикативные в том смысле, что строятся они как раз из "букв" той индивидной области, которая и моделирует теорию. Тот факт, что это свойство выполняется для любой теории, в рамках которой можно смоделировать арифметику (а это свойство любой достаточно богатой теории),— явно указывает на следующие обобщения.

Во-первых, теоремы Гёделя описывают взаимосвязи "понятия" и его материального воплощения согласно философии Гегеля. Именно, идеальная структура (формальная теория) отражается в той материальной структуре, которую она же сама описывает (цифры, индивидная область),- и за счёт этого отражает самое себя. Здесь налицо самоотрицательная, авторефлексивная природа "понятия". Таким образом, бесконечное множество вместе с принципами индукции и рекурсии,— является формальной моделью "понятия". Она, как показал Гёдель, неполна и непополнима. Непротиворечивость её практически неустановима. Что касается дальнейшего уточнения этой модели, то глобальный характер "понятия" требует снятия всяких ограничений по мощности; кроме того, как уже отмечалось, более предпочтительным выглядит нестандартный вариант её формализма. Поэтому наиболее полной современной формализацией "понятия" следует считать собственный класс всех ординалов нестандартной теории множеств с аксиомой ограничения. Аксиома ограничения равносильна тому, что всякое множество получено из 'Ø' посредством взятия булеана и объединения некоторое трансфинитное число раз. Это соответствует центральному положению "понятия" в философии Гегеля. Мы сейчас не говорили об истинности этой философии, речь шла об адекватной формализации "понятия". И эта формализация, как показано выше, ещё далека от совершенства.

Во-вторых, в современной логике теорема Гёделя возникает как некий фокус, неожиданно и случайно. Ибо в самой арифметике её неполнота не заложена явно. Эта неполнота ставит гораздо больше проблем, чем решает. Поэтому теорема Гёделя показывает, что современная логика в чём-то исчерпала себя, нуждается в пересмотре. И в способе доказательства теоремы уже дано направление дальнейшего развития. Процесс построения формального языка (а также логики и теорий в этом языке) нельзя отделять от процесса его моделирования. Необходимо строить структуру, объединяющую в себе две ипостаси: предикат и индивид. Основной аппарат должен охватывать некий класс изоморфных языков и моделей. Взяв тот или иной аспект этой структуры,- мы бы получили модель формализма или формализацию модели.

Сейчас трудно сказать более конкретно об этой будущей логике. Однако подтверждением именно такого направления развития может служить и уже отмечавшийся факт: индивиды математика различает и фиксирует только через выполнимость некоторых предикатов. В то же время сами предикаты также определяются, в конечном итоге, лишь как функции из индивидной области в булеву (или гейтингову) алгебру, т.е. - лишь через собственные модели. Поэтому и нельзя рассматривать предикат отдельно от индивида. Нельзя считать проблему их соотнесения а priori решённой,- как это делает современная логика. Все трудности возникают именно при этом соотнесении. Булева (и интуиционистская) алгебра "чистых" высказываний полна, разрешима и непротиворечива. Проблемы возникают именно в исчислении предикатов, при моделировании теорий первого порядка. Да и сама природа, как было показано для теории квантов,- не соотносит индивиды и предикаты тривиально внешним образом. Поэтому непредикативные методы приобретают особое значение. И несмотря на невозможность их прямого использования, именно они и послужат основой для развития логики и ключом для понимания диалектики Гегеля.

 

  5. Формализм и конструктивизм.

 

Итак, принципы неопределённости и дополнительности квантовой теории вытекают, возможно, из того же источника, что и гёделева неполнота в математике. В теории квантов эти принципы возникают почти как констатация эмпирических фактов, а в математике,— как неожиданный и не совсем понятный сюрприз. Таким образом, найти их более глубокую основу,- дело будущего. Но может быть, здесь помогло бы конструктивное направление в математике?

Однако, несмотря на всю свою теоретическую и практическую значимость, конструктивизм всё-таки не решает глобальных логических проблем. Современные формальные системы не в состоянии себя обосновать. В них могут быть сформулированы неразрешимые вопросы, возникают парадоксы: понятия, непротиворечивые сами по себе, становятся противоречивыми в данном формализме. От парадоксов избавляются накоплением всё новых и новых, довольно искусственных аксиом. Беда в том, что эти системы не охватывают глубинных причин возникновения парадоксов. Алгоритмический метод также не свободен от этих проблем. Значит, всегда будут существовать вопросы, о разрешимости которых теория алгоритмов ничего не сможет сказать. Это не просто невозможность установит истинность,- это уже мета-неразрешимость. И если подобный вопрос по каким-то скрытым причинам именно неразрешим, то алгоритмический метод этого не узнает никогда.

Да и не мог конструктивизм избавиться от таких проблем. Урезая методы формализма,- он ничего не создаёт взамен. Эти два направления математики начали с яростных споров, а сейчас пытаются найти взаимопонимание. И находят. Любой формальный язык имеет строгий алгоритм своего построения из исходных символов. Введение топологических методов позволяет в булевой алгебре построить псевдобулеву подалгебру, и наоборот. Конструктивизм становится логикой решения задач, а формализм,— логикой вывода. Оба подхода оказались равносильными и в двух разных аспектах трактуют один и тот же предмет. Рассмотрим эти вопросы подробнее. Принято считать, что конструктивизм изгоняет из математики бесконечность. Но это не совсем так. Потенциальная бесконечность есть неявное употребление актуальной. Аналогичная ситуация складывается, как мы видели, в теории множеств. Собственные классы вводятся для того, чтобы избежать парадокса Рассела. Но отказавшись рассматривать непредикативные понятия, мы вытесняем их в сферу метатеории, и тогда мы не застрахованы от сюрпризов,- приятных (типа универсальных множеств), или не совсем приятных (типа теорем о неполноте).

Вопрос о правомерности употребления понятия бесконечности упирается только в одно: насколько правомерен принцип индукции в эмпирической практике? Именно обобщая то, что наблюдалось во многих опытах, на все последующие опыты,— человек и приходит к идеям бесконечности, рискуя при этом ошибиться и прийти к противоречию. И действительно ошибается, уточняя свои первые индуктивные заключения последующими, которые тоже индуктивны. Но без индукции нет вообще никакого познания. Без индукции мы бы не смогли обозначать классы предметов словами, мы бы не объединили ряд ощущений определённой величины, твёрдости, формы и веса в одно слово: "камень". И эта индукция, ошибочная по определению (заключение на основании конечного числа случаев безосновательно для всего бесконечного класса случаев),— есть главный инструмент теоретического познания. Она сама и является этим познанием, не умея при этом даже себя обосновать. Возможно, в практике индукции и лежит причина самоотрицательности гегелевского "понятия". Но сейчас для нас главное то, что индукция просто неизбежна для мышления. Неизбежна для мысли и бесконечность. Отвергая актуальную бесконечность, конструктивисты поступают неконструктивно, ибо также не имеют доводов в пользу её отвержения, как и в пользу её сохранения. Единственным аргументом остаётся только то, что бесконечность не воспринимается эмпирически. Но эмпирически не воспринимается и многое другое; например, такие простые понятия как "камень" или "число". Если предельно строго уточнить понятие счёта, то от эмпирического процесса счёта останется лишь бессознательный перебор предметов. Понятие, будучи невозможным без опыта, имеет чисто индуктивную, вне-опытную сущность. В своё время это хорошо показали Беркли и Кант.

Мы не случайно сейчас обратились к миру эмпирических фактов. Эмпирический процесс счёта, будучи основой конструктивизма, является экспериментальным построением всё той же классической математики. И формализм идёт путём, полностью эквивалентным конструктивному пути. Ибо формализм строит свои конструкции из дискретно различимых символов, пользуясь определёнными комбинаторными правилами. Однако воспринимаемый мир сложнее процессов счёта или совокупности дискретно различимых элементов. Глядя на плавное движение стрелок своих приборов, физик делает индуктивное заключение о всюду плотной упорядоченности значений измеряемой величины. Но тем не менее, он вынужден градуировать эти значения дискретными метками натурального ряда,- чтобы извлечь максимум информации из положения стрелок.

Всё это — идеализации нашего разума и наших систем отсчёта. И если формальная логика занята непротиворечивой интерпретацией противоречий, то интуиционистская,— конструктивной интерпретацией неконструктивного мира.

 

  6. Содержание и форма.

 

В пятом пункте был затронут вопрос о бесконечности. Что касается реального мира, то мы должны признать его бесконечность уже хотя бы потому, что он логически противоречив и принципиально непредикативен. Однако наши знания всегда конечны, ибо всегда выражены конечным числом символов формального языка. Вот и получается, что мы финитными средствами познаём инфинитное, как-то сворачивая, ограничивая бесконечность в наших представлениях. Думается, что логические "системы отсчёта", в рамках которых мы представляем будущую логику, как раз и будут по-разному отражать, ограничивать бесконечность мира своими конечными средствами.

Говоря о бесконечности мира и конечности знания, мы говорим о содержательном и формальном. Потому что под содержанием, семантикой формальной теории всегда неявно подразумевается её реальная модель. Иного смысла термин "содержание" просто не имеет. Формальная арифметика изучает свойства чисел, выразимые формально-логически. Содержательная арифметика занимается реальными процессами счёта. Математика, занимаясь исключительно формой, за содержанием обращается, в конечном итоге, только к эмпирической практике. Но именно в конечном итоге, ибо здесь имеется относительность терминологического и модального характера. Можно ведь назвать формой теорию групп вообще, а такие свойства как абелевость, цикличность, и т.д,— отнести к содержанию. Но это будет то содержание, которое можно формализовать, т.е. — формальное. В математике так и поступают, моделируя одну теорию в индивидной области другой теории. При этом "истинное", абсолютное содержание всё-таки опирается на эмпирическую реальность. Алгоритмический язык ценен только тем, что я могу записать алгоритм здесь и сейчас, на этой бумаге, а затем применить его к реально написанным символам.

Таким образом, "истинное" содержание является полной моделью формальной теории. Об этой модели можно много говорить, но существует она только реально, как конкретный объект, фактически даже не имея формального существования. Абстрактный же, формальный объект, существует только как языковой конструкт. Теорема Гёделя как раз и доказывает неисчерпаемость содержания формой. Итак: содержание - бесконечная градация форм, осуществимая реально, но не формально. Форма — бесконечное множество содержаний, охватываемых формальной теорией; настолько бесконечное, чтобы быть осуществимым формально.

Все термины любого языка формальны в том смысле, что обозначают абстрактный "предмет вообще", типа: "камень", "дом", "переменная", и т.д. Реальный же дом содержателен, имеет бесконечное множество свойств и любое его аксиоматическое описание неполно. По любым, сколь угодно конкретным замыслам архитекторов и строителей реально можно построить бесконечное число домов, экземпляров их формального плана. Следовательно, для любых формальных средств некоторые содержательные предметы неразличимы и даже проявляются как совпадающие (согласно теории квантов), хотя и являются альтернативными.

Поэтому эмпирическая проблема индивидуации объекта далеко не так тривиальна, как полагает теория множеств относительно элементов или теория алгоритмов относительно совокупности инскрипций, представляющих одинаковые объекты. Кроме того, при изучении вопросов моделирования и семантики, математика неизбежно обращается к эмпирической практике, которая требует пересмотра исходных математических постулатов.

 

  7. Метаматематика.

 

Несмотря на то, что современная математика довольно жёстко понимает истинность высказываний,— некоторый момент относительности всё-таки неизбежен. Поэтому всякая теория или логика неявно подразумевают метатеорию и металогику. Формальный язык нельзя построить на пустом месте. Для этого нужен метаязык. И число этих приставок "мета-" фактически надо наращивать бесконечно. Так что оперируя только финитными объектами, конструктивизм просто закрывает глаза на инфинитное число метауровней своих определений. Эту последовательность обычно искусственно обрезают, стараясь строить теорию так, чтобы метавысказывания были как можно более тривиальными; тогда вся необходимая метаинформация сводится к тому, что буквы языка различимы, и что имеется неограниченный запас инскрипций для всякой из букв.

Но теорема Гёделя разрушила и эту кажущуюся простоту. Образно выражаясь, создаётся "короткое замыкание" между областью индивидов и областью высказываний о них. Эта непредикативность пронизывает всю бесконечную "башню" из приставок "мета-", которую возводит наша интуиция. Тем более необходимо строить формализм так, чтобы все метауровни, а также логические системы отсчёта учитывались в основаниях самой математики.

Впрочем, даже без учёта теоремы Гёделя формальная логика вынуждена затрагивать метауровни, так как любая логическая операция имеет семантику метавысказывания. Это и является глубинной основой конструктивной критики классической импликации и отрицания. Именно: (А→B) является метавысказыванием о связи истинностных значений высказываний А и В. Вот почему конструктивисты настаивают на том, что без реального вывода В из А, импликация является просто формальным трюком булевой алгебры, логически ничем не обоснованным. Аналогичному сомнению квантовая теория подвергает и классические операции: (А&В) и (АvВ). Кстати говоря, в физике не только одна теория квантов содержит в себе непредикативность объектов и их свойств. В общей теории относительности ситуация аналогична. Пространство-время, будучи только отношением между материальными объектами, само становится материальным объектом, имея даже ненулевой тензор энергии- импульса (точнее, псевдотензор,— что в данном случае несущественно). Пространство-время может иметь и собственную кривизну, не индуцированную материей, но явно влияющую на поведение материи. Так что и здесь мы получаем непредикативность.

Но реальная непредикативность природы означает, что всё, выступающее в наших формализмах как металогика, должно иметь аналог и в физической реальности. Вся последовательность свойств любых метауровней должна как-то реализовываться физически. Это ведь только формально можно договориться такую последовательность не рассматривать. В реальности же она должна быть реальной.

В связи с этим необходимо вернуться к вопросу о соотношении материального и идеального. "Быть материальным" и быть "идеальным",— глубоко относительные свойства. Материя это то, что существует вне и независимо от воспринимающей её системы отсчёта (позволим себе исключить антропоморфизм из определения Маркса). Т.е. — это то, что является отражаемым в данной системе отсчёта, но имеет свою причину в другой системе. Поэтому материя всегда существует "вне себя". Здесь мы вплотную подходим к идеям Гегеля. По Марксу,— идеальное определяется как отражение материального в материальном. Но Маркс не учитывает системы отсчёта. Где оно, это идеальное? Там, где оно и присутствует как отражение, т.е. — в третьем предмете, воспринимающем и отражающее и отражаемое. Но тогда для существования идеального нужен и 4-ый предмет, и т.д. Ибо это метаотражение само должно быть идеальным. Но вся эта неограниченная последовательность "мета-" может стать чем-то целым (составить единую систему отсчёта) только в само-отражении. Иными словами, относительность идеального настолько тотальна, что оно относится лишь к себе самому ("качели", сооружённые Гегелем и Марксом, всё-таки имеют общую ось!). Вот и получается, что идеальное существует в себе и для себя, его сущность в авторефлексии; это то, что воспринимает себя и воспринимается собой. И только в себе идеальное идеально. Информация, отображаемый образ,- находится не в зеркале и не в отражаемом предмете, а в самом отражении, взятом со стороны его самоопределения. Если исключить некоторые физические и математические абстракции, то следует признать нелинейность всех существующих в природе отражений, взаимодействий. Но нелинейность — синоним самодействия. Материальные объекты существуют только через взаимодействие. Поэтому материя всегда порождает информацию, идеальное. И наоборот. Идеальное, которое существует только в себе,— просто не существует ни для чего иного. Но идеальное, имеющее реальность для чего-то иного (отличного от него), уже материализуется. Ведь материя это то, что существует (воспринимается и воспринимает) внешне и во внешнем (вне себя). В этом смысле материя ограничена, конечна. И именно в смысле авторефлексии идеальное бесконечно (вспомним Кантора).

А теперь о математическом аспекте вопроса. Мы говорим, что множество Y содержит информацию о множестве Х, если имеется структурный гомоморфизм f: X→Y. Но на самом деле информация, это вся тройка: (X,Y,f), и в Y она содержится лишь условно. Фактически информация содержится в соответствии Галуа G(f)[X,Y], описывающем эту структуру,— что вынуждает нас рассматривать отображения булеанов: 2^X и 2^Y, и т.д. Объективная реализация отражения требует объективной реализации булеанов всех порядков. В природе эта метаструктура присутствует в целостном виде. Единственный путь определения местонахождения информации, это требование объективной гёделевой неполноты структуры: (X,Y,f) . Свойства этой структуры "закодированы" в ней же самой, что и должно быть неотъемлемой частью нашего формализма, а не языковым курьёзом, возникающим post factum его построения. В этом направлении и должна, как нам кажется, развиваться логика.

 

  8. Теория категорий.

 

Ещё раз кратко сформулируем те требования для будущего развития математики, которые мы здесь пытались обосновать. В сущности, это одно требование: тотальная относительность, доведённая до уровня систем отсчёта. При этом следующие моменты относительности являются ключевыми: 1) самоотносительность, означающая принципиальную непредикативность формализма, 2) относительность истины, 3) относительность эффективных средств, 4) относительность индивидуации объектов познания.

Однако хотелось бы немного конкретнее представить эту будущую логику. На наш взгляд, предвестником новой математики, первой попыткой её построения является теория категорий. Почему?

Теория категорий это абстракция чисто функциональных отношений между объектами. При этом рассматриваются не множества и отображения, а только их алгебраические свойства. Отсюда возникает нетривиальный взгляд на индивидуацию элементов.

На самом деле абстракция категорий охватывает не только множества и отображения, но и класс любых математических структур и их гомоморфизмов. Центральной конструкцией теории становятся не объекты и их свойства, а гомоморфизмы объектов,— стрелки. Это приводит к усилению момента относительности и к потере жёсткой индивидуации объекта, характерной для теории множеств или теории алгоритмов. Всякая стрелка является представителем класса изоморфных ей стрелок, образованных её умножением на изострелки. Категорно изоморфные стрелки неразличимы по основным своим свойствам. Но не всё так просто. Главные определения теории категорий построены так, что выбор данной стрелки из класса ей изоморфных зависит от аналогичного выбора из других классов. Например, предел диаграммы единственен с точностью до изоморфизма, но для каждого предела существует единственная стрелка, пропускающая через него данный конус над диаграммой. Таким образом, индивидуация одних стрелок жёстко определяет индивидуацию других. Это происходит потому, что в теории категорий сочетается алгебраический подход (ассоциативный закон композиции) с комбинаторно- геометрическим (частичность закона композиции; наличие правой и левой единиц для каждой стрелки). Интересно и то, что категорный подход позволяет наиболее полно сформулировать нестандартные методы,- в теории пучков. Сами же понятия предела, топоса, пучка,- сводятся к различным частным случаям одного понятия,— сопряжённости категорий. В наше время сопряжённость является самой точной моделью гегелевского "понятия". Обоснование этого утверждения потребовало бы от нас слишком подробного семантического анализа работ Гегеля и вышло бы за рамки данной статьи. Отметим только, что аппарат стрелок и функторов позволяет формально выразить семантику философского термина "отражение", который имеет чисто информационную сущность. Например, такие образования, как категория К↓а всех стрелок категории К в некоторый её объект а,- позволяют говорить о своеобразных "системах отсчёта" в логике. Если К - топос, то К↓а — тоже топос и, также как и К, имеет свой классификатор подобъектов и свою логику.

Итак, на языке категорий можно создать рабочие модели наших основных требований к логике: непредикативность, относительность, гибкость индивидуации. Нельзя однако утверждать, что это хорошие модели. Да и сама теория категорий во многом равносильна теории множеств. Но за построением теории категорий стоят, видимо, более глубокие принципы, которые и могут быть разработаны в будущем.