|
|
||
Для вычисления определённых интегралов, не сводимых к табличным, можно использовать численное интегрирование. Интеграл может быть кратным: двойным, тройным и выше. Точность и длительность вычисления зависит от дискретности аргументов подынтегральной функции. Чем выше дискретность, тем точнее решение и дольше процесс вычисления. Для любого интеграла существует граница сходимости, то есть, значение дискретности, увеличение которой не приводит к заметному увеличению точности вычислений. Приведены примеры численного интегрирования в гравитационных задачах. Получено точное аналитическое и методом численного интегрирования подтверждение применимости к однородным шарам закона Всемирного тяготения Ньютона в классической формулировке. Numerical integration. Can be used numerical integration to calculate definite integrals that are not reducible to tabular integrals. The integral can be multiple: double, triple and higher. The accuracy and duration of the calculation depends on the discreteness of the arguments of the integrand. Is the higher the discreteness, the more accurate the solution and the longer the calculation process. For any integral, there is a convergence border, that is, a value of discrete, an increase in which does not lead to a noticeable increase in the accuracy of calculations. Examples of numerical integration in gravitational problems are given. Is obtained an exact the confirmation of analytical and numerical integration method to the applicability to homogeneous balls of Newton's law of universal gravitation in the classical formulation. |
Путенихин Петр Васильевич
Численное интегрирование
Рис.1.1. Числовой интеграл функции cos(x)
Рис.1.2. Площадь интегральной трапеции
Рис.1.3. График подынтегральной функции [1, с.255, рис.4.32]
Рис.1.4. Геодезическая частицы, падающей на Чёрную дыру Райсснера-Нордстрёма для внешнего наблюдателя и двух значений заряда Q [1, с.257, рис.4.33]
Рис.1.5. Условный график числа π
Рис.2.1. Притяжение точки к дуге
Рис.2.2. Численное интегрирование с разным числом дискрет
Рис.2.3. Численное интегрирование с разным числом дискрет на предельно большом интервале дискретизации
Рис.3.1. Гравитационное притяжение точки к линии
Рис.3.2. Величина коэффициента уменьшения силы притяжения точки к линии в зависимости от дискретности численного интеграла
Рис.4.1. Гравитационное притяжение двух линий
Таб.4.1. Таблица значений числового интеграла (4.2)
Рис.4.2. График зависимости коэффициента (синий) от дискретности интеграла и график тенденции (зелёный) его уменьшения
Рис.5.1. Сила гравитационного притяжения элементарных площадок на двух зеркалах
Таб.5.1. Значение интеграла (5.5) на полном интервале равно сумме его частных интервалов
Рис.5.2. Интеграл на полном интервале равен сумме интервальных интегралов
Таб.5.2. Единичные интервалы интеграла (5.6) с высокой точностью равны друг другу
Таб.5.3. При увеличении дискретности отношение двух смежных значений интеграла (5.6) стремится к единице
Рис.5.3. Диаграммы k(n) для дискретностей n = 100...1600 и единичных интервалов s% от дискретности. Шкала k(n) логарифмическая
Рис.5.4. Диаграммы k(s%) без постоянной составляющей
Таб.5.4. Сравнение значений величин разных интегралов
Таб.5.5. Вычисленные значения интеграла (5.7) уменьшаются, а его тенденция асимптотически "пилообразно" стремится к единице
Рис.5.5. Диаграмма к таблице таб.5.5
Рис.5.6. Сглаженные диаграммы к таб.5.5
Таб.5.6. Интервальные значения интеграла (5.8) равны друг другу независимо от дискретности
Рис.5.7. Независимо от дискретности численного интеграла (5.8) все его интервальные значения равны друг другу
Таб.5.7. Вычисленные значения числового интеграла (5.9) уменьшаются, а его тенденция асимптотически стремится к единице.
Рис.5.8. Графики интеграла и тенденции, полученные числовым интегрированием выражения (5.9). Графики асимптотически стремятся к минимальным значениям.